Слабоструктурированные задачи принятия решения
В предыдущих главах настоящего учебного пособия изложены математические основы теории принятия решений. Чтобы применить практически какой-либо метод поддержки принятия решений, необходимо реализовать человеко-машинную процедуру, т.е. компьютерную систему, которая проводила бы диалог с ЛПР, в ходе которого она выявляла бы структуру его предпочтений, и на основе этих предпочтений давала бы рекомендации по принятию решений. В связи с этим не менее важным, чем математическая корректность используемых методов, оказывается психологическая корректность организации человеко-машинных процедур в системах поддержки принятия решений.
Психологические аспекты задач выбора
Изучение человеческого мышления является центральной задачей психологии. Однако, работы по проблемам принятия человеком решений появились лишь сравнительно недавно. До 50-х годов XX века в психологии основным научным направлением был бихевиоризм, в рамках которого человеческое поведение сводилось к цепочке «стимул-реакция». На смену бихевиоризму пришла когнитивная психология, которая и в настоящее время является ведущим направлением в психологии.
Одной из основных задач когнитивной психологии является изучение человеческой системы переработки информации, работы мозга, памяти.
Одной из наиболее удачных моделей памяти является трехкомпонентная модель, предложенная Р.Аткинсоном и Р.Шифрином, возникшая на основе компьютерной метафоры. Эта модель хорошо согласуется с экспериментальными результатами по решению человеком задач переработки информации.
Согласно этой модели существуют три вида памяти: сенсорная, кратковременная и долговременная. Между ними происходит постоянное взаимодействие.
Информация из внешнего мира поступает в сенсорную память, где хранится около 1/3 секунды. Далее она поступает в кратковременную память, где подвергается кодированию и может храниться до 30 секунд (а при повторениях существенно больше). Затем информация стирается или поступает в долговременную память. Последнюю можно представить как гигантское по объему хранилище, в котором информация может храниться неограниченно долго.
По мнению большинства психологов, процессы принятия решений человеком происходят в кратковременной памяти. Информация поступает в неё как из внешнего мира (через сенсорную память), так и из долговременной памяти. Содержание кратковременной памяти иногда отождествляется с содержанием сознания.
Объем кратковременной памяти, по мнению Дж. Миллера и других психологов, весьма ограничен. Обработка большого количества фактического материала позволила оценить емкость кратковременной памяти: 7±2 семантических единиц (букв, фраз, понятий – любых объектов, воспринимаемых испытуемым как единый смысловой образ).
Моделей долговременной памяти существует несколько. Каждая из них соответствует определенной части имеющихся экспериментальных данных. С точки зрения проблем принятия решений наиболее интересна модель, основанная на семантической близости.
Согласно этой модели, информация хранится в виде семантических классов, то есть наборов признаков и экземпляров этих классов – семантических объектов, имеющих конкретные значения по заданным признакам. Каждый объект, таким образом, может быть представлен в виде точки в пространстве признаков, причем близким по смыслу объектам будут соответствовать меньшие расстояния в этом пространстве.
Человеческие эвристики и смещение оценок
Многие методы принятия решений требуют от человека измерения вероятности событий. Но исследования показывают, что люди совершают систематические ошибки при выполнении такого рода операций. Причин этому может быть несколько.
Суждение по представительности: люди судят о вероятности того, что объект x принадлежит классу A, только по похожести x на типовой объект класса A без учета априорной вероятности.
Суждение по встречаемости: люди часто определяют вероятность событий на основе личного опыта, т.е. в зависимости от того, насколько часто они сами сталкивались с этими событиями.
Суждение по точке отсчета: если при определении вероятности начальная информация используется как точка отсчета, то она существенно влияет на результат.
Сверхдоверие: многие люди чрезмерно доверяют своим собственным оценкам вероятности событий.
Стремление к исключению риска: большинство людей стремится по возможности исключить из выбора ситуации, связанные с риском и неопределенностью.
Ограниченность кратковременной памяти заставляет людей в сложных многокритериальных задачах применять упрощающие эвристики. По результатам исследований, к основным эвристикам относят следующие:
- при сравнении альтернатив люди часто делают выбор на основе сравнения по числу критериев, по которым одна из альтернатив превосходит другую, не учитывая при этом, насколько она лучше по каждому из критериев;
- зачастую люди пренебрегают теми критериями, по которым различие сравниваемых альтернатив невелико;
- при оценивании вариантов люди часто используют метод исключения по последовательно рассматриваемым критериям, а не по сочетаниям значений оценок по всем критериям.
Общие черты слабоструктурированных проблем
Большинство задач принятия решений являются слабоструктурированными, то есть обладают одним из нижеперечисленных свойств.
1. Они являются проблемами уникального выбора в том смысле, что каждый раз проблема является новой для ЛПР либо обладающей новыми особенностями по сравнению со встречавшейся ранее подобной проблемой.
2. Они связаны с неопределенностью в оценках альтернативных вариантов решения проблемы, которая объективно обусловлена нехваткой информации на момент решения проблемы.
3. Оценки альтернативных вариантов решения проблемы имеют качественный характер и чаще всего сформулированы в словесном виде.
4. Общая оценка альтернатив может быть получена лишь на основе субъективных предпочтений ЛПР (либо группы ЛПР).
5. Оценки альтернатив по отдельным критериям могут быть получены только от экспертов. Обычно отсутствует объективная шкала измерения оценок по отдельным критериям. Более того, в ряде случаев оценки альтернатив по критериям могут быть относительными, показывая, чем один вариант лучше другого.
Сформулированные выше особенности рассматриваемого класса проблем позволяют определить следующие требования к методам их решения.
1. Методы должны быть приспособлены к естественному для ЛПР и его окружения языку описания проблем. Чтобы быть социально приемлемым, метод принятия решений должен быть легко приспосабливаемым к способу обсуждения проблем, принятому в организации. Обычно это означает словесное описание оценок критериев и, следовательно, оценок вариантов по критериям.
2. В методах принятия решений должны использоваться только такие способы получения информации от ЛПР и экспертов, которые, согласно данным психологических исследований, соответствуют возможностям человеческой системы переработки информации.
3. Логические операции преобразования вербальной информации должны быть математически корректны. Они должны быть основаны на проверяемых условиях, из которых следует тот или иной вид решающего правила.
4. В методах должны быть предусмотрены средства проверки информации ЛПР на непротиворечивость и устранения выявленных противоречий.
5. Методы принятия решений должны быть «прозрачны» для ЛПР. Полученные результаты должны быть легко объяснимы ЛПР на понятном ему языке.
Среди методов, изложенных ранее, в наибольшей степени перечисленным требованиям удовлетворяет метод, основанный на аксиоматической теории важности критериев.
Психологическая корректность методов принятия решений
Все существующие методы поддержки принятия решений требуют от ЛПР осуществления различных операций по переработке информации, в частности – назначить веса критериям, построить распределение вероятностей исходов и т.п. В связи с этим, для получения обоснованных результатов не менее важной, чем математическая корректность применяемого метода, является его психологическая корректность. Необходимо, чтобы метод требовал от человека выполнения только таких типов операций, которые он способен выполнять достаточно уверенно и надежно. Эти операции могут быть составными (то есть состоящими из нескольких простых операций) и элементарными (неразложимыми на более простые).
В таблице 6.1 представлены результаты психологических исследований, посвященных тематике правомерности использования основных элементарных операций.
В этой таблице операции разделены на группы – операции с критериями, операции с оценками альтернатив по критериям, операции со сравниваемыми вариантами. Для каждой операции указана оценка ее сложности для человека в следующем формате:
С (сложные) – при выполнении этих операций ЛПР допускает много противоречий, использует упрощенные модели;
Д (допустимые) – ЛПР выполняет эти операции с небольшим числом противоречий, может использовать сложные модели;
МР (допустимые при малой размерности) – при небольшом числе объектов, над которыми производится операция, она применяется ЛПР достаточно надежно, но при возрастании этого числа она становится сложной.
НС и НД (неопределенные) – нет результатов психологических исследований по этим операциям, но имеются факты, говорящие в пользу их допустимости (НД) или сложности (НС).
Таблица 6.1.
Операции, приведенные в таблице, являются элементарными. Из них могут формироваться составные операции с такими же оценками по сложности.
Например, операция выбора лучшей альтернативы из группы может быть представлена как совокупность операций попарного сравнения альтернатив 3.1, то есть она будет являться допустимой при малой размерности (малом количестве критериев).
С помощью этой таблицы можно охарактеризовать психологическую корректность тех или иных методов принятия решений.
Метод ЗАПРОС-ЛМ
Метод ЗАПРОС-ЛМ [5] предназначен для построения бинарного отношения предпочтения на множестве вариантов, оцениваемых по многим критериям. Название метода является аббревиатурой: ЗАПРОС – ЗАмкнутые ПРоцедуры у Опорных Ситуаций. Окончание ЛМ указывает на авторов этого метода – Ларичева О. И., Мошкович Е. Н.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу, в которой известны
1) K={K1, …, Kn} – множество критериев c порядковыми шкалами;
2) X(i) ={1 ,…, Ni} – шкала критерия Ki , являющаяся результатом преобразования словесной формулировки оценки по данному критерию к балльной оценке. Значение «1» соответствует наилучшей оценке по данному критерию, значение Ni – наихудшей;
3) A ⊆ X = X(1)× … × X(n) – множество векторных оценок, описывающих реальные альтернативы (X – все гипотетически возможные варианты).
Требуется построить упорядочение многокритериальных альтернатив множества А на основе предпочтений ЛПР.
Подход к решению
Метод предназначен для решения задач, в которых критерии взаимно независимы по предпочтению. Как известно, для таких задач существует аддитивная функция ценности вида (4.1). Как видно из таблицы 6.1, непосредственно назначить количественные веса критериям из множества K является сложной операцией для ЛПР (операция 1.2). В главе 4 рассмотрены два метода построения аддитивной функции ценности – метод половинного деления и шаговый метод совместного шкалирования. Но и в них используются операции, квалифицируемые как сложные для ЛПР. Метод ЗАПРОС предполагает такую процедуру опроса ЛПР, в которой требуется сравнение вариантов только по двум критериям (операция 2.3 из таблицы 6.1 – допустимая).
Основная идея метода состоит в том, что отношение предпочтения R на множестве X всех возможных вариантов строится на основе проведения опроса относительно небольшого объема. При этом проверка условия независимости критериев по предпочтению осуществляется в ходе проведения процедуры опроса. Параллельно осуществляется контроль непротиворечивости ответов ЛПР. В этом проявляется замкнутость процедуры.
Списком векторных оценок у опорной ситуации будем называть подмножество векторных оценок из Y, имеющих по всем критериям, кроме одного, те же значения, что и у опорной ситуации.
Сформируем списки L1 и L2 соответственно у первой и второй опорной ситуации: L1 = { x∈X | x=(1,1,…,1,xs,1,…,1), xs≠1, s∈{1,…,n}}; L2 = { x∈X | x=(N1,N2,…,Ns-1,xs,Ns+1,…,Nn), xs≠Ns, s∈{1,…,n}}.
Метод ЗАПРОС предусматривает проведение опроса ЛПР только на этих множествах. Для первой опорной ситуации ЛПР должен сравнить все пары векторных оценок x и y из L1, которые несравнимы по отношению Парето R0. ЛПР должен выбрать один вариант ответа из трех возможных: x предпочтительнее, чем y; y предпочтительнее, чем x; x и y одинаковы по предпочтительности. Результатом опроса является отношение предпочтения R1 на L1. Аналогично строится отношение R2 на L2. Опрос проводится отдельно для каждого списка.
Пример 6.1. Задача о выборе работы.
Предположим, что студент ищет работу на время летних каникул. Он выступает в роли ЛПР и считает для себя важными следующие критерии:
K1 – заработная плата (шкала критерия: 1 – «высокая», 2 – «средняя», 3 – «низкая»);
K2 – местоположение (шкала критерия: 1 – «удобное», 2 – «удовлетворительное», 3 – «неудобное»);
K3 – вид деятельности (шкала критерия: 1 – «привлекателен», 2 – «удовлетворителен», 3 – «непривлекателен»).
Требуется построить упорядочение всех возможных вариантов.
Для этой задачи списки у первой опорной ситуации (1,1,1) и у второй опорной ситуации (3,3,3) будут выглядеть следующим образом.
L1={(1,1,2), (1,1,3), (1,2,1), (1,3,1), (2,1,1), (3,1,1)};
L2={(3,3,1), (3,3,2), (3,1,3), (3,2,3), (1,3,3), (2,3,3)}.
Заметим, что (1,1,2)R0(1,1,3); (1,2,1)R0(1,3,1); (2,1,1)R0(3,1,1). Поэтому студенту предстоит сравнить 12 пар вариантов, то есть ответить на 12 вопросов для построения отношения R1 (аналогично для R2).
На основе отношений R1 и R2, построенных у первой и второй опорных ситуаций, может быть получено отношение предпочтения R на множестве всех возможных вариантов X. Это возможно при соблюдении условий следующих утверждений.
Утверждение 6.1. Если критерии из множества К взаимно независимы по предпочтению, то векторная оценка x=(x1,…,xn) не менее предпочтительна, чем оценка y=(y1,…,yn) (то есть x R y), если для каждого критерия Ks найдется критерий Kt(s) такой, что (1,1,…,1,xs,1,…,1)R1(1,1,…,1,yt(s),1,…,1), где t(s) – биекция множества K в себя.
Утверждение 6.2. Если критерии из множества К взаимно независимы по предпочтению, то векторная оценка x=(x1,…,xn) не менее предпочтительна, чем оценка y=(y1,…,yn) (то есть x R y), если для каждого критерия Ks найдется критерий Kt(s) такой, что (N1,N2,…,Ns-1xs, Ns+1,…,Nn)R2(N1,N2,…,Nt(s)-1,yt(s), Nt(s)+1,…,Nn), где t(s) – биекция множества K в себя. Доказательство этих утверждений на теореме Дебре о существовании аддитивной функции полезности (см. главу 4).
Пример 6.2. Сравним в условиях примера 6.1 два варианта предполагаемого места работы студента: вариант, характеризуемый векторной оценкой x=(2,3,1) – заработная плата средняя, неудобное местоположение, но привлекательный вид деятельности, и вариант, характеризуемый векторной оценкой y=(3,1,2) – заработная плата низкая, удобное местоположение, вид деятельности удовлетворительный. Заметим, что по отношению Парето эти варианты несравнимы. Сравнение будем проводить на основе утверждения 6.1.
Пусть опрос, проведенный у первой опорной ситуации, завершился построением отношения предпочтения R1, включающего следующие сравнения гипотетических вариантов: (2,1,1)R1(1,1,2), (1,3,1)R1(3,1,1). Тогда x R y, т.к. существует биекция t множества номеров критериев в себя, удовлетворяющая утверждению 6.1: t(1)=3, t(2)=1, t(3)=2.
Проверка условий взаимной независимости критериев по предпочтению
Таким образом, для корректного сравнения векторных оценок из множества всех возможных векторных оценок X (а значит, и из множества реальных векторных оценок A), опираясь на утверждения 6.1 и 6.2, необходима проверка условий взаимной независимости критериев по предпочтению. Полная проверка этих условий требует от ЛПР ответов на слишком большое количество вопросов, либо ответов на слишком сложные вопросы. Достоверность информации, полученной в результате такого опроса, будет вызывать сомнения. Поэтому в методе ЗАПРОС предусмотрена косвенная проверка условий взаимной независимости критериев, происходящая в ходе
1) построения отношений R1 и R2 по результатам опроса ЛПР;
2) построения отношений R на основе отношений R1 и R2 и утверждений 6.1 и 6.2.
Напомним, что для взаимной независимости критериев по предпочтению достаточно, чтобы каждая пара критериев {Ks,Kt} не зависела от остальных (теорема Леонтьева-Гормана), то есть результат сравнения пары векторных оценок
x=(a1, …, as-1, xs, as+1, …,at-1, xt, at+1, …, an),
y=(a1, …, as-1, ys, as+1, …,at-1, yt, at+1, …, an) не должен зависеть от значений компонент a1, …, as-1, as+1, …,at-1, at+1, …, an, совпадающих в векторах x и y.
В списках L1 и L2 содержатся пары такого вида:
x=( 1 , …, 1 , Ns, 1 , …, 1 , 1 , 1 , …, 1 )∈L1;
y=( 1 , …, 1 , 1 , 1 , …, 1 , Nt , 1 , …, 1 )∈L1;
x’=(N1, …, Ns-1, Ns, Ns+1, …,Nt-1, 1, Nt+1, …, Nn) ∈L2;
y’=(N1, …, Ns-1, 1, Ns+1, …,Nt-1, Nt, Nt+1, …, Nn) ∈L2.
Очевидно, что для выполнения условий независимости пары критериев {Ks,Kt} от остальных, результаты сравнения пар векторов (x, y) и (x’, y’) должны совпадать. Заметим, что хотя данная проверка весьма ограничена, тем не менее, невыполнение этого условия достаточно красноречиво будет свидетельствовать о нарушении условий независимости критериев и необходимости дополнительного анализа ситуации.
Вторично независимость критериев проверяется в процессе построения отношений R на основе отношений R1 и R2. Если результаты сравнения реальных вариантов x и y из множества A, полученные на основе утверждений 6.1 и 6.2, совпали, то это косвенно подтверждает независимость критериев, а значит и правомерность использования этих решающих правил. Если по одному из правил варианты сравнимы, а по второму – нет, то можно считать результаты приемлемыми. Как правило, ЛПР менее уверенно сравнивает варианты из списка у второй опорной ситуации, содержащего варианты с большим количеством наихудших оценок. Если же результаты сравнений вариантов x и y, полученные на основе утверждений 6.1 и 6.2, противоречат друг другу, то это говорит о зависимости некоторых критериев и необходимости анализа постановки задачи.
Для устранения зависимости критериев надо установить, какая именно пара критериев зависит от остальных и попытаться объединить эту пару критериев в один (см. пример 4.2).
Выявление и устранение ошибок
Одним из требований, предъявляемых к методам решения слабоструктурированных проблем, является проверка полученной от ЛПР информации на непротиворечивость.
В методе ЗАПРОС при сравнении векторных оценок у опорных ситуаций ЛПР может допустить ошибки, приводящие к нетранзитивности отношения R1 (или R2). Рассмотрим принципы выявления и устранения нетранзитивности отношения предпочтения на примере отношения R1. После каждого проведенного ЛПР сравнения вариантов из L1 проводится распространение полученной от ЛПР информации о сравнении векторных оценок по транзитивности, то есть строится транзитивное замыкание той части отношения R1, которая уже построена. Например, если при сравнении x и y из L1 ЛПР ответило, что x P1 y, тогда для любых z, таких что y P1 z или y I1 z, должно выполняться x P1 z, а для любых z, таких что z P1 x или z I1 x, должно выполняться z P1 y. Таким образом, из одного ответа ЛПР может следовать несколько косвенных выводов.
В методе ЗАПРОС процедура опроса организуется таким образом, чтобы сравнение каждой пары вариантов производилось дважды – на основе прямого ответа ЛПР или по транзитивному замыканию, исходя из его предыдущих ответов. Если в обоих случаях ответ одинаковый, то считается, что проверка подтвердила правильность полученной от ЛПР информации. Если это не так, то ЛПР предъявляется тройка вариантов x, y, z и результаты ее сравнения с требованием устранить противоречие. После устранения противоречия опрос продолжается.
Пример 6.3. Если в условиях задачи 6.1 ЛПР ранее определило, что (2,1,1)P1(1,1,2), (1,1,2)I1(1,2,1), то на вопрос о сравнении вариантов с векторными оценками (2,1,1) и (1,2,1) ЛПР должно ответить (2,1,1)P1(1,2,1).
Метод ОРКЛАСС
Метод ОРКЛАСС предназначен для решения задач порядковой классификации. Название метода является сокращением от «ОРдинальная КЛАССификация». Слово ординальный является синонимом слова порядковый.
Задачи классификации человеком объектов, обладающих совокупностью признаков, относятся к наиболее распространенным на практике задачам принятия решений. Многокритериальные задачи классификации отличаются от других многокритериальных задач принятия решений тем, что в них не требуется ранжировать альтернативы. Достаточно распределить их между небольшим числом классов решений. Тогда объекты, помещенные в класс I, более предпочтительны для ЛПР, чем объекты, помещенные в класс II и так далее.
В простейших задачах классификации присутствуют только два класса, к которым нужно отнести объекты (классификация по принципу «подходит – не подходит»). Такие задачи классификации можно рассматривать, как задачи выбора.
Постановка задачи
В методе ОРКЛАСС рассматриваются задачи с упорядоченными по предпочтениям классами решений.
1) K={K1, …, Kn} – множество критериев, описывающих характеристики классифицируемых объектов s1,…,sm.
2) X(i)={1 ,…, Ni} – шкала критерия Ki, являющаяся результатом преобразования словесной формулировки оценки по данному критерию к балльной оценке. Значение «1» соответствует наилучшей оценке по данному критерию, значение Ni – наихудшей.
3) X – множество векторных оценок классифицируемых объектов s∈{s1,…,sm} вида x=(x1,…,xn).
4) N – число упорядоченных классов решений.
Требуется: на основании предпочтений ЛПР построить отображение F:X→{1,2,…,N}, то есть построить разбиение множества X на непересекающиеся X1, X2, …, XN подмножества – классы решений.
Пример 6.4. Задача о предоставлении займа коммерческим банком.
Рассмотрим постановку задачи о предоставлении займа коммерческим банком.
Критерии:
K1. Срок займа:
1) краткосрочный (3 месяца);
2) среднесрочный (6 месяцев);
3) долгосрочный (год и более).
K2. Репутация клиента:
1) Процветающее, успешное предприятие;
2) стабильное предприятие;
3) стабильность предприятия вызывает сомнения.
K3. Ликвидность залога:
1) высокая;
2) средняя;
3) низкая.
Перед банком стоит задача классификации всех потенциальных клиентов по принципу «давать – не давать» займ. Так как неизвестно заранее, какие именно клиенты обратятся за займом, нужно иметь правило, позволяющее отнести клиента с любым сочетанием оценок по критериям к одному из классов. Ясно, что следует давать краткосрочный займ процветающим предприятиям с высокой ликвидностью залога и не следует давать долгосрочный кредит нестабильному предприятию с низкой ликвидностью залога. Для остальных надо либо каждый раз привлекать ЛПР, либо заранее выработать и согласовать с ЛПР политику выдачи займов.
Подход к решению
В общем случае задачу построения полной классификации можно решить путем последовательного предъявления ЛПР всех векторных оценок множества X. Однако такой подход неэффективен даже для решения задач относительно небольшой размерности.
Упорядоченность классов решений позволяет построить специальную процедуру опроса ЛПР для формирования полной классификации множества X при предъявлении ему относительно небольшой части всех векторных оценок из этого множества.
Поскольку от исходных шкал с вербальными оценками мы перешли к балльным шкалам, то на X определено отношение строгого предпочтения P0 (отношение Парето)
x P0 y ⇔ ∀i xi≤yi, ∃j∈{1,…,n} , xj<yj
Рассмотрим также отношение
P1:x P1 y ⇔x∈Xr, y∈Xs, s<r
(вариант с векторной оценкой x отнесен к классу с меньшим номером, чем вариант с векторной оценкой y).
Ясно, что если xP0y, то вариант с векторной оценкой x не может быть отнесен к классу с большим номером, чем y : x P0 y ⇒ (x, y) ∉ P1.
Пример 6.5. «Автоматическое» отнесение к классу.
В условиях примера 6.1 если клиент с оценкой (2,2,2) отнесен ЛПР к классу I (давать займ), то клиенты (1,1,1), (1,2,1), (1,1,2), (2,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1) не могут быть отнесены к классу II (не давать займ), а значит, автоматически должны быть отнесены к классу I.
Основная идея проведения опроса в методе ОРКЛАСС состоит в том, чтобы всякий раз предъявлять ЛПР для классификации такие варианты, отнесение которых к некоторому классу позволяло бы классифицировать как можно больше вариантов из X при помощи логических заключений, сделанных на основе предыдущих ответов ЛПР. С этой точки зрения векторы из множества X обладают различной информативностью для построения рациональной процедуры опроса ЛПР. Логично предъявлять ЛПР для классификации наиболее информативные варианты множества X.
Пример 6.6. Показатели информативности.
Показатели информативности для всех возможных векторных оценок из примера 6.1 приводятся в таблице 6.2. В каждой ячейке этой таблицы указано значение в форме a+b. Число a указывает фактическое количество вариантов, классифицируемых при отнесении данного варианта к классу I. Число b указывает фактическое количество вариантов, классифицируемых при отнесении данного варианта к классу II.
Таблица 6.2
Обозначим через Gx множество номеров классов, допустимых для векторной оценки x. До начала опроса Gx={1, … , N} для всех x кроме x=(1, …, 1), для которой Gx={1}, и x=(N1, …, Nn), для которой Gx={N}. Поскольку цель опроса состоит в однозначном отнесении каждой векторной оценки к одному из N классов, в конечном итоге требуется, чтобы все Gx состояли из одного элемента, т.е. /Gx|=1 ∀x∈X.
Пусть ЛПР указало, что векторная оценка x∈Xr, тогда если для некоторой векторной оценки y справедливо
yP0x, то y∉Xk для k>r. (6.1)
Аналогично если для некоторой векторной оценки y справедливо
xP0y, то y∉Xk для k<r. (6.2)
Таким образом, при отнесении некоторой оценки ЛПР к определенному классу, каждое из множеств Gx может уменьшиться (в частном случае до одного элемента).
В методе ОРКЛАСС используется следующий показатель информативности векторной оценки x: где pxr – вероятность отнесения x к Xr, gxr – число векторных оценок из X, принадлежность которых к некоторому классу становится известной (т.е. /Gx|=1), если ЛПР отнесет x к Xr.
В данном методе для оценивания pxr используется мера близости векторной оценки x к «центру» множества Xr, т.е. к векторной оценке, координаты которой равны среднему арифметическому координат векторов из Xr.
Процедура опроса
Процедуру опроса ЛПР можно представить в виде следующих укрупненных этапов:
1. Определить подмножество Xg⊆X , Xg={x∈X | |Gx|=>1}.
Если Xg= Ø, то перейти к пункту 7.
2. Для ∀x∈Xg вычислить pxr и gxr.
3. Для ∀x∈Xg вычислить .
4. Определить x∈Xg такую, что .
5. Векторную оценку x, определенную на этапе 4, предъявить ЛПР для отнесения к одному из классов.
6. В соответствии с классом Xr, к которому ЛПР отнесло x, модифицировать множества Gy, т.е. для ∀y∈Xg: xP0y положить Gy= Gy∩{1, … , r}, а для ∀y∈Xg: yP0x положить Gy= Gy∩{r+1, … , N}. Перейти к пункту 1.
7. Процедура закончена.
Такая процедура позволяет существенно уменьшить число вопросов, задаваемых ЛПР для полной классификации вариантов из множества X. Например, для пяти критериев с тремя градациями, т.е. при мощности множества X равного 234, для классификации на 2 класса в среднем необходимо 10 вопросов к ЛПР, на 3 класса – 18, на 4 класса – 25 вопросов.
Выявление и устранение ошибок
В ответах ЛПР всегда возможны ошибки. Их можно обнаружить, если нарушаются условия (6.1), (6.2), т.е. если ЛПР отнесет векторную оценку x c Gx={r, r+1, … , r+q} к классу Xs, такому, что s
Границы классов и их использование
Предложенные процедуры определения наиболее информативных вариантов и корректировки противоречивой информации позволяют организовать эффективную систему выявления предпочтений ЛПР (построение полной и непротиворечивой классификации многомерных альтернатив в пространстве критериев). В результате получаем разбиение множества X на классы Xi, соответствующее предпочтениям ЛПР. Полученное разбиение может использоваться для определения класса решения для любого реального объекта. В связи с этим возникает необходимость сохранения полной классификации множества X в базе данных системы.
Последняя задача может эффективно решаться и без хранения всего массива информации о построенной полной классификации гипотетически возможных вариантов. Достаточно хранить только границы классов.
Назовем верхней границей класса Xi множество недоминируемых элементов данного класса по отношению P0. Назовем нижней границей класса Xi множество недоминирующих элементов данного класса по отношению P0. Обозначим через верхнюю границу класса Xi, через – его нижнюю границу.
Если известны и , то по ним можно восстановить все множество Xi.
x∈Xi ⇔ ∃x’∈ , ∃x’’∈ : x’ R0 x R0 x’’ (6.3)
Таким образом для отнесения вектора x к какому-то классу необходимо и достаточно определить номер класса i, для которого выполнены условия (6.3).
Такая процедура позволяет не только снизить объем сохраняемой информации, но и построить систему объяснений результатов классификации того или иного вектора.
Пример 6.7. Границы классов.
Рассмотрим задачу классификации объектов на четыре класса. Предположим, что объекты оцениваются по пяти критериям. Каждый критерий обладает шкалой с тремя градациями. Гипотетически возможно 35=243 объектов во множестве X. Один из вариантов классификации может полностью быть описан следующими границами:
класс 1 ={(1,1,1,1,1)}; = {(2,3,2,1,2), (2,3,3,1,1)};
класс 2 = {(1,1,1,2,1), (1,1,1,1,3), (1,1,3,1,2)}; = {(2,3,3,2,3)};
класс 3 ={(1,1,1,3,1)}; ={(1,3,3,3,3), (2,2,3,3,3), (2,3,2,3,3), (2,3,3,3,2)};
класс 4 = {(3,1,1,1,1), (2,3,3,3,3)}; ={(3,3,3,3,3)}.
Например, вариант с векторной оценкой (1,2,1,1,1) попадет в класс 1, вариант с оценкой (2,2,1,2,1) – в класс 2, вариант с оценкой (2,2,3,2,1) – в класс 2, вариант с оценкой (3,1,2,1,1) – в класс 4.